이차 함수라고 하면 학생들은 일반형으로 주어진 식을 표준형으로 고치는 것을 가장 먼저 생각하기 쉽다. 이유는 무엇인가 고민하지 않는다.
나는 이것이 마음에 들지 않는다. 왜냐하면 이것은 스토리에 어긋나기 때문이다. 이차 함수에 대한 나의 스토리는 다음과 같다. 이차 함수의 그래프는 포물선이다. 포물선은 좌우 대칭이 된다. 즉 선대칭 도형이다. 이 말은 대칭축이 존재한다는 말이고 선대칭 도형의 대칭축이 포물선의 축이라는 것이다. 이제 축이 정의되었으므로 우리 눈에 보이는 선은 2개이다. 곡선인 포물선과 직선인 축이다. 두 선이 만나면 교점이 생긴다. 그 교점이 바로 꼭짓점이다. 물론 꼭지점에서는 굉장히 많은 정보를 제공하고 있다. 즉 정의는포물선, 축, 꼭짓점 순으로 되어야 한다는 것이다.
그래서 나는 수학의 발견에서의 구성이 마음에 든다. 수학을 발견해서는 축을 먼저 구하고 축에서의 x값을 이차 함수에 대입하여 y 값을 구한다.
자 다음과 같은 예시가 있다
y=x²-8x
이 예시에서 우리는 우변을 X로 묶어내고 x(x-8)로 인수분해 할 수 있을 것이다. 이를 통해 이 이차 함수의 x절편이 0과 8임을 알 수 있다. 즉0과 8의 평균인 x=4 가 축이 됨을 알 수 있다. 한 절편이 0이므로, 그냥 다른 절편의 반이라고 생각해도 좋다.
주어진 이차 함수에 x=4를 대입하면 y의 값은 -16이 된다.
이제 다음 함수를 생각해보자
y=ײ-8x+15
여기서는 아까의 그래프를 y축 방향으로 15만큼 평행 이동만 하면 된다. 따라서 축은 변하지 않는다. y값이 -1이 될 뿐이다. 즉, 꼭짓점이 (4, -1)이다. 이런 방식으로 우리는 인수분해를 잘 알지 못하더라도 혹은 완전 제곱식으로 고치지 못하더라도 꼭짓점을 구할 수 있다
이 수업은 선행이 되어 있는 학생들에게 굉장한 도전이 되는 수업이다. 이런 식으로 배워보지 않았고 이것을 처음 만난다. 선행이 된 학생이나 선행이 되지 않은 아는 학생이나 모두 같은 조건에서 시작하는 것이다. 의외로 많은 학생이 이해하지 못한다. 익숙하지 않아서 거부감을 느끼기도 한다.
내가 좋아하는 한 학생이 있다. 본인은 잘 알지 못하겠지만 그 반에서 가장 똑똑한 학생은 아닐 수 있다. 그러나 가장 흡수력이 좋은 학생이다. 이 학생은 이 수업에서 왜 처음부터 y=15와 y=x²-8x를 같이 놓고 풀지 않는지 물어보면서 그런 식으로 한다면 처음에 와이는 y=x²-8x의 꼭짓점을 구할 필요 없이 바로 구할 수 있는 것 아니겠는가, 평행이동 개념을 도입하지 않아도 더 좋았던 것 같은데 왜 한 단계를 더 거쳐야 했는가에 대해서 의문을 표시하였다. 그리고 y=15를 바로 대입해서 그와 같은 꼭짓점을 구할 수 있다는 것에 대해서 굉장히 만족하고 자기의 발견에 뿌듯해하였다. 이 학생은 성장이 있는 학생이었다. 나는 이 학생의 성장이 자랑스러웠다. 이 학생과 함께 한 이야기를 그려 놓은 화이트보드를 사진을 찍으려고 했는데 부지런한 청소당번이 지워버려서 너무 아쉽다.
사실 이 학생의 질문은 교육과정을 벗어나고 있어 그렇게 지도하지 못했던 부분이었다.
카테고리 없음